Qual das alternativas abaixo apresenta a justificativa correta para que, dentre todos os retângulos de perímetro fixo, o quadrado possui a maior área?
A alternativa d) é a correta.
Ela expressa de forma clara e concisa a ideia de que a área do retângulo pode ser representada por uma função quadrática que o ponto máximo dessa função corresponde ao caso em que o retângulo é um quadrado.
Demonstração:
Seja “P” o perímetro fixo do retângulo:
P = 2x + 2y, onde x e y são as medidas dos lados do retângulo.
A área do retângulo é dada por:
A = x * y
Isolando y na equação do perímetro:
y = (P – 2x) / 2
Substituindo y na equação da área:
A = x * (P – 2x) / 2
A = (Px – 2x²) / 2
ou
Analisando a função quadrática:
A função representa uma parábola com concavidade para baixo.
O ponto máximo dessa parábola representa a maior área possível.
O vértice da parábola corresponde ao valor de x que maximiza a função.
Calculando o vértice da parábola:
O vértice de uma parábola da forma y = ax² + bx + c ocorre em x = -b/2a.
No nosso caso, a = -1, b = P/2.
Logo,
Substituindo x por P/4 na equação do perímetro, encontramos y = P/4.
Conclusão:
O valor de x que maximiza a área é P/4.
O valor de y também é P/4.
Portanto, para obter a maior área, x e y devem ser iguais, ou seja, o retângulo é um quadrado.
OUTRA PROVA MATEMÁTICA
Seja P o perímetro do retângulo e b e h sua base e altura respectivamente. Logo, sua área A é definida por:
A = b . h
O perímetro é definido como:
P = 2b + 2h.
Área do quadrado em função do perímetro (P):
Como o quadrado possui quatro lados iguais, em relação ao perímetro P, cada um de seus lados (L) é:
Assim, a área do quadrado em função do perímetro é:
Como o retângulo é um quadrado deformado em d unidades para mais e para menos em relação a sua base e altura:
Neste ponto, podemos utilizar o produto notável: produto da soma pela diferença resultando em uma diferença de dois quadrados.
Comparação entre a área do quadrado e do retângulo:
Conclusão:
Com a desigualdade acima, vemos claramente que a área do retângulo é sempre menor que a área do quadrado, assumindo que ambos possuem o mesmo perímetro.
Outras alternativas:
a): Não há relação entre a área ser um número perfeito e ser máxima.
b): Embora a igualdade dos lados seja uma característica do quadrado, essa afirmação por si só não justifica a maximização da área.
c): A diagonal não é diretamente relacionada à área máxima.
e): Essa afirmação é verdadeira, mas não explica por que o quadrado maximiza a área.
